齐次线性方程组的基础解系怎么算

哈喽大家好🙋‍♀️🙋‍♂️，今天来聊聊线性代数里一个超级重要的概念——齐次线性方程组的基础解系！想知道怎么算？其实很简单，核心就两步：化简增广矩阵到行最简形 & 根据自由变量写出基础解系。是不是看起来so easy？别急，接下来我会手把手带你理解，保证看完秒懂💯！

很多小伙伴看到“齐次线性方程组”就头大🤯，其实它就是一个所有常数项都为0的方程组。比如：

“`

2x + 3y – z = 0

x – y + 2z = 0

“`

而基础解系呢，就像是一个万能钥匙🔑，可以表示出方程组的所有解！是不是很神奇✨？

那么，如何找到这把神奇的“钥匙”呢？ 拿出你的小本本，记好以下步骤✍️：

第一步：构建增广矩阵并化为行最简形

首先，把方程组的系数写成一个矩阵，叫做系数矩阵。由于是齐次方程组，常数项都是0，所以增广矩阵其实和系数矩阵一样。拿上面的例子来说，它的增广矩阵就是：

“`

[ 2 3 -1 | 0 ]

[ 1 -1 2 | 0 ]

“`

接下来，就要使用初等行变换，把增广矩阵化成行最简形。常用的初等行变换有三种：

1. 交换两行的位置🔄；

2. 将一行乘以一个非零常数✖️；

3. 将一行的k倍加到另一行➕。

目标是把矩阵变成阶梯状，每行第一个非零元素（称为首元）的下方和左边都是0。

拿上面的例子继续，我们可以先将第一行乘以1/2：

“`

[ 1 3/2 -1/2 | 0 ]

[ 1 -1 2 | 0 ]

“`

然后将第一行的-1倍加到第二行：

“`

[ 1 3/2 -1/2 | 0 ]

[ 0 -5/2 5/2 | 0 ]

“`

最后将第二行乘以-2/5：

“`

[ 1 3/2 -1/2 | 0 ]

[ 0 1 -1 | 0 ]

“`

再将第二行的-3/2倍加到第一行：

“`

[ 1 0 1 | 0 ]

[ 0 1 -1 | 0 ]

“`

到这里，矩阵就变成了行最简形啦🎉！

第二步：根据自由变量写出基础解系

行最简形搞定后，我们来看看哪些变量是自由变量。简单来说，非首元对应的变量就是自由变量。在上面的例子中，z对应的列没有首元，所以z就是自由变量。

接下来，我们设z = t (t为任意实数)，然后用t表示其他变量。根据行最简形，可以得到：

“`

x + z = 0 => x = -t

y – z = 0 => y = t

“`

所以，方程组的通解可以写成向量的形式：

“`

[ x ] [ -t ] [ -1 ]

[ y ] = [ t ] = [ 1 ] t

[ z ] [ t ] [ 1 ]

“`

这个向量[-1, 1, 1]就是我们苦苦寻找的基础解系啦！🥳 它可以张成方程组的解空间，也就是说，方程组的所有解都可以用它的线性组合表示。

到这里，你应该已经掌握了求解齐次线性方程组基础解系的方法啦！是不是感觉也没那么难？😉 多练习几个例子，就能熟能生巧啦！💪

最后，再总结一下要点：

齐次线性方程组: 所有常数项都为0的方程组。

基础解系: 可以表示方程组所有解的一组线性无关的解向量。

求解步骤: 构建增广矩阵 -> 化为行最简形 -> 根据自由变量写出基础解系。

希望这篇笔记对你有帮助！💖 有什么问题欢迎在评论区留言哦~ 🤓